公務員もれっきとした「労働者」であり、当然、憲法に保障された団結権があり、労働組合をつくる権利があります。
＊「労働者」の定義は、「職業の種類を問わず、事業または事務所に使用される者で、賃金を支払われる者をいう」（労基法第9条）。
ちなみにプロ野球選手も労働者であり（球団に雇われ、年俸という賃金をもらっている）、「プロ野球選手会」は1985年東京都地方労働委員会により労働組合として認定されています。したがって「試合を放棄する」というストライキを行ったことがあります。（2004年のプロ野球再編問題の時）

そもそも、労働三権（団結権・団体交渉権・争議権）を含む労働基本権は、基本的人権における３つの社会権の柱の１つ（他は、生存権、教育を受ける権利）として日本国憲法に規定されています。英・独・仏などでは、公務員にも団結権どころか、団体交渉権、争議権まで認めています。

では、なぜ、団結権が保障（＝労働者は労働組合をつくっていいし、使用者は労働組合の団結を壊すような行為をしてはならない（＝「不当労働行為」））されるようになったのか、学校で社会の時間（公民・現社・政経）で勉強したと思います。
簡単に言えば、何も持ってなく自分の労働を売り賃金を得る以外に生活の糧のない労働者は、「持てる」（＝生産手段の所有）資本家（使用者）に対して常に弱い立場にあります。資本主義の経済は利潤追求の経済であり、何も規制や救済措置を講じなければ資本家の飽きなく利潤追求のため労働者は酷使され、極めて劣悪な状況にされてしまいます（これは、初期の資本主義において見られました）。労働者は長いの闘いの末、やっと２０世紀に入って、労働基本権というものを認めさせたのです。

団結権は、労働者（公務員を含む）を劣悪な状況に陥らせないよう、憲法上認められた極めて重要な権利ということです。

労働条件の交渉に限り、公務員にも組織を作って、勤務時間に公休をとることを認めるように国からの告知で認められています。言葉の響きから受けるような組合ではありませんし、休暇と言う言葉の印象のような休暇と言うより、勤務時間内に労働条件についてなら、話し合いの時間をとれるという意味合いですが、橋下氏もそのあたり、よく理解していないような気がします。